Анатолий Кузнецов родился 1 апреля 1926 года в Верхнем Тагиле (ныне – Свердловская область).

После окончания начальной школы работал разнорабочим на заводе.

В июле 1944 года Кузнецов был призван на службу в Рабоче- Крестьянскую Красную Армию. С декабря того же года — на фронтах Великой Отечественной войны.

К апрелю 1945 года гвардии сержант Анатолий Кузнецов командовал пулемётным расчётом 84-го гвардейского стрелкового полка 33-й гвардейской стрелковой дивизии 43-й армии 3-го Белорусского фронта. Отличился во время штурма Кёнигсберга.

В период с 6 по 11 апреля 1945 года расчёт Кузнецова, участвуя боях за Кёнигсберг, уничтожил более 100 солдат и офицеров противника, ещё 80 взял в плен.

Указом Президиума Верховного Совета СССР от 29 июня 1945 года гвардии сержант Анатолий Кузнецов был удостоен высокого звания Героя Советского Союза с вручением ордена Ленина и медали «Золотая Звезда».

После окончания войны в звании старшины Кузнецов был демобилизован. Проживал в Сургуте, работал машинистом экскаватора, затем старшим прорабом.

Был также награждён орденом Отечественной войны 1-й степени и рядом медалей.

Скончался 28 декабря 1996 года в Верхнем Тагиле. Похоронен на Старом кладбище города.